Positivitätskegeln und Symmetriegruppen in der birationalen Geometrie

Jun.-Prof. Dr. Cécile Gachet, Ruhr-Universität Bochum

Dieser Vortrag gliedert sich in die komplex algebraische Geometrie ein. Dieses mathematische Forschungsgebiet befasst sich mit der geometrischen Natur von sogenannten Varietäten, das heißt Formen, die sich durch Polynomialgleichungen definieren lassen. Bei der Untersuchung von Varietäten liegt der Fokus weniger auf die verschiedenen Polynomialgleichungen, die die Varietät extrinsisch definieren würden, sondern vielmehr auf die intrinsischen Eigenschaften der Form – beispielsweise ihre Symmetrien, ihre Singularitäten (wenn vorhanden), ihre Krümmung und das Verhalten von Kurvenscharen auf ihr.

In den frühen 1980er Jahren leistete Shigefumi Mori Pionierarbeit in der Erforschung eines konvexen Kegels, der jeder Varietät intrinsisch zugeordnet ist. Die geometrischen Eigenschaften dieses sogenannten Mori-Kegels enthalten wesentliche Informationen über die ursprüngliche Varietät: auffallend weist er Faserungen der ursprünglichen Varietät auf Formen niedrigerer Dimension nach. Daher kann das Verständnis des Mori-Kegels einer Varietät dazu dienen, ihre einfacheren „Bausteinen“ zu erkennen. Moris Theorie und insbesondere sein berühmter Kegelsatz haben in den letzten fünfzig Jahren zahlreiche Anwendungen in der algebraischen Geometrie gefunden. In diesem Vortrag möchte ich einen Überblick über diese Gedankenreihe geben und dabei die Rolle von Kegeln als Positivitätsbegriffe in der algebraischen Geometrie hervorheben. Die Leistungsfähigkeit der Mori-Theorie werde ich anhand geometrischer Beispiele veranschaulichen und einige ihrer Anwendungen auf Klassifikationsprobleme sowie auf die Untersuchung von Symmetriegruppen von Varietäten werde ich erörtern.

Nach einem Studium an der École Normale Supérieure in Paris, promovierte Cécile Gachet im Februar 2023 an der Université Côte d'Azur unter der Betreuung von Prof. Andreas Höring. Ihre Dissertation zur „Positivität von der (ko)tangentiellen Garbe und von Chern-Klassen“ wurde mit dem Blaise-Pascal-Preis ausgezeichnet, einer Auszeichnung für die beste Dissertation in der reinen Mathematik in Frankreich in den Jahren 2022 und 2023. Nach einem Aufenthalt an der Humboldt-Universität zu Berlin wurde Cécile Gachet im Oktober 2024 zur Juniorprofessorin für die Algebraische Geometrie an der Ruhr-Universität Bochum berufen. Ihre Forschung befasst sich mit der birationalen Geometrie, einem Gebiet der Mathematik, das sich mit der Analyse und Klassifizierung von Formen beschäftigt, die sich durch Polynomialgleichungen ausschneiden lassen. Zusätzlich zu ihren Aufgaben in Bochum ist sie auch als Mercator Fellow des Sonderforschungsbereichs TRR-195 tätig, wo Forschende aus der RPTU Kaiserslautern, der RWTH Aachen und der Universität des Saarlandes zum Thema „Symbolische Werkzeuge in der Mathematik“ in Austausch kommen. Seit Januar 2025 ist Cécile Gachet Mitgliederin des Jungen Kollegs der Nordrhein-Westfälischen Akademie.